Der Venuszyklus

Im Laufe von ziemlich genau acht Jahren überholt die Venus die Erde fünf Mal. Von der Erde aus gesehen (geozentrisch) kann man das in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:

Koordinaten der Venus 

> xv := `+`(xs, `*`(RV, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV)))))));
 

> yv := `+`(ys, `-`(`*`(RV, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV))))))));
 

 

Typesetting:-mprintslash([xv := `+`(xs, `*`(RV, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV)))))))], [`+`(xs, `*`(RV, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV)))))))])
Typesetting:-mprintslash([yv := `+`(ys, `-`(`*`(RV, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV))))))))], [`+`(ys, `-`(`*`(RV, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV))))))))]) (1)

Koordinaten der Sonne 

> xs := `+`(`-`(`*`(RE, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))));
 

> ys := `*`(RE, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))));
 

 

Typesetting:-mprintslash([xs := `+`(`-`(`*`(RE, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))))], [`+`(`-`(`*`(RE, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))))])
Typesetting:-mprintslash([ys := `*`(RE, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))], [`*`(RE, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))]) (2)
ergibt

> xv; 1; yv; 1
 

 

`+`(`-`(`*`(RE, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE))))))), `*`(RV, `*`(sin(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV)))))))
`+`(`*`(RE, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TE)))))), `-`(`*`(RV, `*`(cos(`+`(`/`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(t))), `*`(TV)))))))) (3)

Konkrete Zahlen:

Bahnradien in Mio km 

> RV := 108.2; 1; RE := 149.6
 

 

Typesetting:-mprintslash([RV := 108.2], [108.2])
Typesetting:-mprintslash([RE := 149.6], [149.6]) (4)

Umlaufdauer in Tagen 

> TV := 224.701; 1; TE := 365.256
 

 

Typesetting:-mprintslash([TV := 224.701], [224.701])
Typesetting:-mprintslash([TE := 365.256], [365.256]) (5)
ergibt

> xv; 1; yv; 1
 

 

`+`(`-`(`*`(149.6, `*`(sin(`+`(`*`(0.5475611626e-2, `*`(Pi, `*`(t)))))))), `*`(108.2, `*`(sin(`+`(`*`(0.8900716952e-2, `*`(Pi, `*`(t))))))))
`+`(`*`(149.6, `*`(cos(`+`(`*`(0.5475611626e-2, `*`(Pi, `*`(t))))))), `-`(`*`(108.2, `*`(cos(`+`(`*`(0.8900716952e-2, `*`(Pi, `*`(t))))))))) (6)

Damit sieht die geozentrische Bahn der Venus für 32 Jahre so aus

> plot([xv, yv, t = 0 .. `+`(`*`(32, `*`(TE)))]);
 

Plot_2d

Weil das Verhältnis der Umlaufzeiten nicht exakt 13/8 ist, schließt sich die Bahn nach 8 Jahren nicht exakt.

Animation für 8 Jahre 

> display([seq(plot([xv, yv, t = 0 .. `+`(`*`(`/`(1, 40), `*`(k, `*`(TE))))], color = red), k = 1 .. 320)], insequence = true);
 

 



Mit Sonne (schwarze Bahn) und Verbindungslinien Erde - Sonne - Venus, Epizyklen:

geozentrisch


Venus-zentrisch

Verallgemeinerung

Man kann sich fragen, ob ein exakter Zyklus in der Konstellation zweier Planeten die "absolute Ausnahme" ist, bzw. bei welchen Abständen exakte Zyklen entstehen. Dazu verwendet man besser Polarkoordinaten, oder - noch kompakter - komplexe Zahlen:

> z = `+`(`*`(r1, `*`(exp(`*`(I, `*`(omega1, `*`(t)))))), `*`(r2, `*`(exp(`*`(I, `*`(omega2, `*`(t)))))));
 

z = `+`(`*`(r1, `*`(exp(`*`(I, `*`(omega1, `*`(t)))))), `*`(r2, `*`(exp(`*`(I, `*`(omega2, `*`(t))))))) (1)
 

Die Bahn z ist die Überlagerung zweier Schwingung mit den Amplituden r1 und r2 (Bahnradien um die Sonne) und den Winkelgeschwindigkeiten  ω1 und ω2. Das ergibt mit dem 3. Keplerschen Gesetz und den Umlaufzeiten T1 und T2:

> z = `+`(`*`(r1, `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))), `*`(T1))))), `/`(`*`(`^`(`*`(`^`(T2, 2), `*`(T1)), `/`(1, 3)), `*`(r1, `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))), `*`(T2)))))),...
 

z = `+`(`*`(r1, `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))), `*`(T1))))), `/`(`*`(`^`(`*`(`^`(T2, 2), `*`(T1)), `/`(1, 3)), `*`(r1, `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))), `*`(T2)))))),... (2)
 

mit "T1 = r1 = 1" (also z.B. T1 = 1a, r1 = 1AE) lautet dann die Bahngleichung in der komplexen Ebene: 

> z := proc (T2, t) options operator, arrow; `+`(exp(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t)))), `*`(`^`(`*`(`^`(T2, 2)), `/`(1, 3)), `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))), `*`(T2)))))) end proc; ...
 

Typesetting:-mprintslash([z := proc (T2, t) options operator, arrow; `+`(exp(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t)))), `*`(`^`(`*`(`^`(T2, 2)), `/`(1, 3)), `*`(exp(`/`(`*`(`*`(2, `*`(I)), `*`(Pi, `*`(t))... (3)
 

Hier sind ein paar Beispiele (die Funktion cplz() verwendet Maples complexplot() und im ersten Argument T2, als Bruch über der Animation angezeigt):

Innerer Planet 

display([seq(cplz(`+`(`*`(`/`(1, 40), `*`(k))), 1, t), k = 2 .. 40)], insequence = true);  

Plot_2d 

Äußerer Planet

display([seq(cplz(`+`(`*`(`/`(1, 20), `*`(k))), 5, t), k = 61 .. 100)], insequence = true);  

Plot_2d 

Und "natürlich" gibt es unendlich viele Bahnradien bzw. Umlaufzeiten mit zyklischen Konstellationen, weil alle rationalen Zahlen zueinander kommensurabel sind.
Die Frage ist nur: a) wie lange dauert der Zyklus? Und b) wie oft wiederholt sich eine Konstellation innerhalb eines Zyklus?

Wir sehen uns dazu noch einmal "exakte Venuszyklen" in der Nachbarschaft von T = 13/8 genauer an:

> display([seq(cplz(`+`(`/`(13, 8), `*`(`/`(1, 8000), `*`(k))), 15, t), k = -20 .. 20)], insequence = true);
 

Plot_2d
 

Das hat wohl etwas zu tun mit a) dem Nenner des Bruchs und b) mit der Differenz von Zähler und Nenner?

© Dezember 2021, Dr. Michael Komma (VGWORT)

Siehe auch: Weihnachten 2020 | Analemma | schielender Mond | Uhrenparadoxon | Schwebungen | Quantensprung

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