In der Quantenphysik berechnet man den Übergang von einem zum anderen
Zustand durch die Überlagerung von Zuständen, z.B. mit den genannten
Quantenzahlen, zu denen auch bestimmte Frequenzen gehören. Das Ergebnis
ist eine Schwingung mit der Differenz der Frequenzen.
In der Animation sind vier Flächen gleicher Dichte der Elektronenladung
(oder in der Sprache der Quantenphysik der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Elektrons) dargestellt, von violett (hohe
Aufenthaltswahrscheinlichkeit) bis orange.
Das Atom führt eine Dipolschwingung aus (in der Mitte ist der positiv
geladene Kern zu denken) und gibt deshalb Dipolstrahlung ab, oder
absorbiert sie.
Für Licht beträgt die Frequenz der Schwingung etwa 10^14Hz. Der
Vorgang/Übergang kann bis zu einigen Nanosekunden dauern, also etwa
100000 Schwingungen - je Lebensdauer des angeregten Zustands.
Bilder im Sekundentakt...
... oder etwas flüssiger
Zur interaktiven Darstellung nebenstehend eine mp4-Datei
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Ob Schrödinger sich das so vorgestellt
hat? Jedenfalls meinte er: "If we have
to go on with these damned quantum jumps, then I'm sorry that I ever got
involved!"
Schrödinger verglich die Zustände eines Atoms auch gerne mit den Schwingungen
einer Membran (siehe auch Are there
quantum jumps?):
"This produces an infinite variety of initial deformations and
accordingly a truly infinite variety of shapes of the ensuing vibration:
the rapid ‘succession of cinema pictures’,
so we might call it, which describes the vibration following on a
particular initial deformation is infinitely manifold. But in every case,
however complicated the actual motion is, it can be mathematically
analysed as being the superposition of a discrete series of
comparatively simple ‘proper vibrations,’ each of which goes on with a
quite definite frequency."
Wir versuchen diese "atomaren Membranen" durch die Darstellung der
Realteile der Wellenfunktion zu veranschaulichen. In den folgenden Animationen gilt
für die Koordinaten: Die z-Achse ist wie bisher die "polare Achse" (Polarwinkel
= 0 am Nordpol), und die x-Achse gehört zum Azimut 0. In Richtung der y-Achse
(vorne/hinten) ist nun aber die Dichte der Wellenfunktion über der x-z-Ebene
abgetragen (Realteil (Re) oder - weiter unten - Betragsquadrat (abs)).
Die
Grundschwingung sieht dann etwa so aus wie die
Membran eines Basslautsprechers...
Aber Vorsicht mit Analogien! Im Atom gehört zum
Grundzustand die höchste Frequenz.
...und zur
ersten Oberschwingung gehört "die Oktav"
Aber Vorsicht mit Analogien! Der erste angeregte
Zustand eines Atoms schwingt mit 1/4 der
"Grundfrequenz".
Wie sieht nun die Überlagerung dieser Zustände aus? Wir versuchen es zunächst
mit einer Überlagerung der beiden Zustände mit gleichen Gewichten (Amplituden):
Bildet man
die Summe der Realteile der Zustände, so
entsteht dieses Muster. Das sieht zwar schön
aus, ist aber falsch!
Atomare Zustände
schwingen nicht nur real, sondern auch imaginär.
Man hat also das Betragsquadrat der Summe der
komplexen Amplituden zu bilden:
Aber Vorsicht mit Analogien: Stationäre Zustände leben nicht
ewig, sondern sind in Wirklichkeit labile Zustände, also Durchgangsstadien.
D.h., ein Zustand klingt exponentiell ab und der andere (energetisch tiefer
liegende) nimmt im gleichen Maß zu, bis der einzig stabile Zustand, also der
Grundzustand, erreicht ist. Der Übergang eines (Wasserstoff-) Atoms vom ersten
angeregten Zustand zum Grundzustand, sieht also etwa so aus:
Theorie
Stark vereinfacht (wenn man nur die Zeitabhängigkeit berücksichtigt) entspricht der
Übergang eines Atoms vom Zustand mit der Frequenz f2 in den Zustand mit der
Frequenz f1 der Überlagerung zweier Schwingungen (komplex geschrieben, I ist die
imaginäre Einheit) mit zeitabhängigen Amplituden. Dabei klingt die Schwingung
mit der Frequenz f2 exponentiell ab (Dämpfungskonstante/Zerfallsrate c), und die Schwingung mit der Frequenz
f1 nimmt
komplementär zu (Summe der Amplitudenquadrate = 1). Das Betragsquadrat der Summe
ist dann eine Schwebung (Differenz der Frequenzen im Cosinus) mit zeitabhängiger
Amplitude:
Bei der Überlagerung zweier atomarer Zustände sind die Amplituden noch
ortsabhängig und man erhält z.B. für den oben dargestellten Übergang (in atomaren
Einheiten):
Der Vorfaktor des "Interferenzterms"
cos(f1*t-f2*t) bedeutet, dass die Schwebung
nicht schlagartig einsetzt und dann exponentiell
abklingt (blaue Kurve),
vielmehr muss erst ein "Einschwingvorgang"
erfolgen (grüne Kurve = Produkt von blau und
rot), ganz in Analogie zum radioaktiven Zerfall
(Mutter-Tochter).
Das "Tochterelement" wäre dann in diesem Fall
ein Photon, das etwa so wie oben abgebildet
aussieht, bzw. ein Zwischenzustand des Atoms,
der weiter in den stabilen Grundzustand
zerfällt.
Die
Fouriertransformierte dieser Schwingung (des
Photons) ist nun (im Vergleich zur Näherung von
Weisskopf und Wigner - s.u. Literatur) aber
keine Lorentzlinie, sondern eine "Beta-Linie":
mit der Eulerschen Betafunktion B(x,y) zur
zentralen Frequenz w0 (imaginäre Einheit als I
notiert, w als Frequenz). In der Darstellung
rechts sieht man, dass die Beta-Linie (rot)
etwas schmaler ist, als die Lorentzlinie (blau,
mit der vollen Halbwertsbreite c). Das ist auch
vernünftig, weil das sprunghafte Einsetzen der
Schwingung (Lorentzlinie) einen größeren Anteil
hoher Frequenzen erfordert.
Der Unterschied der beiden Linienformen ist nur
minimal und wird in Messungen ohnehin von
anderen Effekten um Größenordnungen überlagert, z.B.
Stoßverbreiterung (Lorentzprofil) und Dopplerverbreiterung
(Gaußprofil). So erklärt sich auch,
dass bis heute in allen Darstellungen des
Photons als Wellenzug, ein sprunghafter Beginn
der Strahlung zu finden ist.
Noch etwas mehr Theorie
Das System Atom-Photon befindet sich während der Emission (oder Absorption)
eines Photons im Zustand
[Anm.: Dabei handelt es sich um einen reinen Zustand (und kein Gemisch von
Zuständen). Der zweite Summand steht stellvertretend für eine Summe (genauer
gesagt ein Integral) über alle möglichen Moden k des Photons |1> :=
|0,0,...,1,0,0,...> (ein Photon in der k-ten Mode). ]
Im angeregten Zustand |a> ist kein Photon |0> vorhanden, und im Grundzustand |g>
ist ein Photon |1> vorhanden. Die Amplituden c(t) sind zeitabhängig, d.h., der
ebenfalls zeitabhängige Zustand startet als reiner Produktzustand (eine
Amplitude ist Null), durchläuft ein Stadium der maximalen Verschränkung (beide
Amplituden sind gleich) und endet als reiner Produktzustand (die andere
Amplitude ist Null). Schrödingers Katze hat also kein Problem, sich für lebendig
oder tot zu entscheiden, wenn man sie mit einem Atom, das ein Photon emittiert,
in einen Kasten sperrt. Das liegt einfach daran, dass das Atom auch nicht ewig
in einem Superpositionszustand (aus zwei "stationären Zuständen") "lebt", und
nur dann springt, wenn man den Deckel der Kiste aufmacht, sondern kontinuierlich
Energie abgibt.
Für die Emission ist es üblich einen "exponentiellen Zerfall", bzw. einen
"gedämpften harmonischen Oszillator" anzusetzen (z.B. Weisskopf-Wigner-Näherung). Die Amplituden c(t) lauten
dann wie oben
und ihr Produkt - und nicht ca0(t) alleine! - bestimmt sowohl den zeitlichen Verlauf der Dipolschwingung als
auch des abgestrahlten Wellenzugs (der unten rechts mit Lichtgeschwindigkeit aus
dem Bild verschwindet :-):
Kritik
Die Weisskopf-Wigner-Näherung basiert auf der Annahme des "rein exponentiellen
Zerfalls" eines Atoms. Die Emission eines Photons wird also aus zwei Gründen
phänomenologisch behandelt: 1. Ein (einzelnes) Atom verhält sich bei der Emission eines
Photons wie ein "Ensemble radioaktiver Kerne". Misst man die Anzahl der
angeregten (oder zerfallenen) Kerne als Funktion der Zeit, so ergibt sich das
bekannte Zerfallsgesetz. 2. Die Abgabe der Energie an das elektromagnetische
Feld beginnt schlagartig mit der maximalen Amplitude (und klingt dann
exponentiell ab, denn Quantensprünge gibt es ja nicht :-).
Verwendet man diesen phänomenologischen Ansatz aus der statistischen
Interpretation für die Amplituden in der zeitabhängigen Schrödingergleichung
(oder in einer anderen zeitabhängigen Beschreibung), so ergibt sich ein
Widerspruch: Das für die Emission erforderliche Dipolmoment wird zeitabhängig,
und die Emission elektromagnetischer Strahlung setzt nicht schlagartig ein (wie
bei einem Funkeninduktor). Damit scheint die Energiebilanz nicht mehr zu
stimmen: Im statistischen (und statischen) Bild erfolgt die Energieabgabe (und
-aufnahme) schneller als in der zeitabhängigen Beschreibung. In der folgenden
Abbildung ist der "rein exponentielle Zerfall" blau dargestellt (entspricht der
Auf- und Entladung eines Kondensators) und die Energieänderung durch eine
"atomare Dipolschwingung" rot.
Im linken Bild beginnen das "statistische Atom" (blau) und das "Schrödingersche
Atom" (rot) zum gleichen Zeitpunkt mit der Absorption (t=0) und Emission (t=7)
eines Photons.
Die Vorstellung, dass man bei einem Atom den Schalter zur Zeit t=0 umlegen kann,
ist etwas problematisch und eigentlich durch die Energie-Zeit-UR verboten (ex
falso quodlibet :-), aber unter dieser Voraussetzung unterscheiden sich die
Kurven doch deutlich. Aber man kann ja - rein phänomenologisch - die blaue Kurve
etwas verschieben, wie im rechten Bild.
Die Problematik erinnert ein wenig an die "Bierschaum-Parabel" des
radioaktiven Zerfalls:
A) Im Bierschaum (bestehend aus einem Ensemble identischen Bläschen =
radioaktiven Kernen) platzt jedes Bläschen mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit/Zeit (Zerfallsrate), also ist die Änderung der Anzahl der
Bläschen proportional zum Bestand der Bläschen.
B) Jedes Bläschen schrumpft kontinuierlich wie ein undichter Luftballon, also
ist die Änderungsrate seines Volumens seinem Volumen proportional.
Natürlich verringert sich in beiden Fällen das Volumen des Bierschaums
erwartungsgemäß rein exponentiell...
Spaß beiseite: Ein Atom kann
Strahlung nicht nur bei der Resonanzfrequenz (im
Bild rechts bei f = 10) absorbieren und
emittieren, sondern auch daneben. Die roten
Kurven in obiger Abbildung zeigen nur den
Resonanzfall. Wenn man über alle Frequenzen
integriert, bekommt man mit einer
Lorentzverteilung die blauen Kurven.
Interessant sind dabei die "Wellen" in der
Abbildung rechts: Außerhalb der Resonanz findet
ein "Einschwingvorgang" statt - ganz klassisch?
Siehe auch
What is a photon?
Literatur:
- V. Weisskopf und E. Wigner, ZS. f. Phys. 63, 54, 1930
Berechnung der natürlichen Linienbreite auf Grund der Diracschen Lichttheorie.
- S. Kikuchi, Zeitschrift für Physik, July 1930, Volume 66, Issue 7–8, pp
558–571
Über die Fortpflanzung von Lichtwellen in der Heisenberg-Paulischen Formulierung
der Quantenelektrodynamik.
Anmerkung: In dem Anfang Juni 2019 veröffentlichten Artikel
To catch and reverse a quantum jump
mid-flight,
wird experimentell nachgewiesen, dass ein atomarer Übergang
kontinuierlich und deterministisch abläuft (zumindest in einem
künstlichen Atom).
Die theoretische Behandlung erfolgt mit "Quantentrajektorien" und führt
im Endeffekt auf das gleiche Ergebnis wie im
Logistischen Modell vorgeschlagen.
