Moderne Physik mit Maple
PDF-Buch Moderne Physik mit Maple
Update auf Maple 10
Kapitel 5.3.1
Worksheet propa_10.mws
c ITP Bonn 1995 filename: propa
Autor: Komma Datum: 9.10.94
Thema: Feynman - Propagator des freien Elektrons
> | restart: |
Aufbau des Propagators
> | K:=f(x[1],x[0]); |
> | for i from 2 to 4 do |
> | K:=Int(f(x[i],x[i-1])*K,x[i-1]): |
> | od; |
> |
Als Prozedur
> | K:=proc(n) local K,i; |
> | K:=f(x[1],x[0]); |
> | for i from 2 to n do |
> | K:=int(f(x[i],x[i-1])*K,x[i-1]=-infinity..infinity): |
> | #K:=Int(f(x[i],x[i-1])*K,x[i-1]): |
> | od: |
> | end; |
> |
Für Integration
> | assume(c<0): |
> | #c:='c': |
> | #value("); |
> | f:=(u,v)->exp(c*(u-v)^2); |
Test
> | seq(K(i),i=2..5); |
> |
Also wäre als Normierung angebracht
> | sqrt(-c/Pi); |
> | f:=(u,v)->sqrt(-c/Pi)*exp(c*(u-v)^2); |
> | seq(K(i),i=2..9); |
> |
K zu beliebigem n
> |
> | K(7); |
> | Kn:=subs(7=n,K(7)); |
> | Kn:=subs(-1/7=-1/n,Kn); |
> | Kn:=subs(1/7=1/n,Kn); |
> |
> |
Ersetzen der Konstanten c (siehe Buch)
> | Kn:=subs(c=I*a/epsilon,Kn); |
> | factor(%); |
> | subs(epsilon=t/n,%); |
> | Kn:=combine(%); |
> | K:=radsimp(%); |
einfachere Schreibweise
> | x[n]:=x: x[0]:=0:t:='t':a:='a': |
> | K; |
Feynmans Phase (für x=0)
> | evalc((1/sqrt(I))); |
unsere Phase (je nach Maple-Version ;-))
> | evalc((-1)^(3/4)); |
Mit einem Unterschied von Pi. Aber wir können natürlich wie Feynman nur mit dem Betrag des Vorfaktors rechnen (quod libet iovi...)
> | Kw:=K/(-1)^(3/4); |
> | assume(t>0,a>0); |
> | RK:=evalc(Re(Kw)); |
> | RK:=subs(t=th,a=ah,RK): |
> | t:='t':a:='a': |
> | RK:=subs(th=t,ah=a,RK); |
> | t:=Pi:a:=1: |
> | pl1:=plot(RK,x=-10..10):pl1; |
> | #RK; |
> |
> |
> | with(plots): |
> | animate(RK,x=-5..5,t=0.2..2,numpoints=500,frames=15); |
> |
Leider ist der für kleine t und große x stark oszillierende Propagator keine Plot-freundliche Funktion. Man kann aber durch Einstellen der richtigen Perspektive den Überblick bekommen ...
> | plot3d(RK,x=0..10,t=.2..0.5,style=wireframe,grid=[50,50]); |
> |
Die Moire-Muster (3d) hängen von der Aulösung ab: im x-t-Diagramm sind die "Orte" gleicher Phase nichts anderes als die Parabeln t = x^2*const .
> |
> |
> | a:='a':t:='t': |
> | assume(t>0,a>0); |
> | IK:=evalc(Im(Kw)); |
> | IK:=subs(t=th,a=ah,IK): |
> | t:='t':a:='a': |
> | IK:=subs(th=t,ah=a,IK); |
> | t:=2:a:=1: |
> | pl2:=spacecurve([IK,x,RK],x=-8..8,numpoints=500,axes=framed,color=black,orientation=[20,65]):pl2; |
> |
save pl1,pl2, `plpro.m`:
> | t:='t': |
> | display([seq(spacecurve([IK,x,RK],x=-5..5,numpoints=400),t=seq(1+0.2*i,i=1..20))],insequence=true, |
> | tickmarks=[0,0,0],axes=normal,orientation=[70,70]); |
> |
Wenn Feynman das gesehen hätte ... dann hätte er sicher auf Vollbild geschaltet, aber er war auch ohne Maple voll im Bild!
Aufgabe: Zeige, daß der Propagetor das Integral einer ebenen Wirkungswelle über alle Impulse ist. Wovon ist also der Propagator die Fouriertransformierte?
Aufgabe: Interpretiere die Fouriertransformierte in der Sprache der Pfadintegrale.
Aufgabe: Zeige, daß der Propagator der Grenzwert des Gauß-Schrödinger-Paketes ist für Ortsunschärfe -> 0.
(Aufgabe: relativistisch <-> NR)
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