{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" 0 21 "" 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 }{CSTYLE " " -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 1 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "R3 Font 0" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 10 0 0 255 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "R3 Font 2" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 } 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 258 "" 0 "" {TEXT 256 25 "Moderne Physik mit Mapl e " }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 257 9 "PDF-Buch " }{URLLINK 17 "Moderne \+ Physik mit Maple" 4 "http://mikomma.de/fh/modphys.pdf" "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Update auf Maple 10" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Kapitel A.1" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Worksheet madg1_10.mws" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "Differentialgleichung, gewoehnliche" {TEXT -1 54 "c ITP \+ Bonn 1995 filename: madg1.ms" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Autor: Komma Datum: 12.7.94 \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Thema: Behandlung \+ gew\366hnlicher Differentialgleichungen mit Maple" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Gew\366hnliche Differentialgleichungen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Vorweg ein paar technische A nmerkungen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Packages und R\374cksetzen von Variablen: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 423 "1.) Bei einmaligem Durchgang durch das Worksheet w\344re die Wiederholung der with-Befehle \374berfl\374ssig. In der Regel wir d ein worksheet aber mehrmals und mit nicht voraussehbaren Spr\374ngen abgearbeitet. In diesem Fall k\366nnen dann (etwa nach restart) die p ackage-Befehle nicht mehr bekannt sein, bzw. Variable unzul\344ssig be legt sein. Dagegen bieten die Wiederholungen der with-Befehle und unas signments eine gewisse Sicherheit. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 147 "E s taucht die Frage auf, ob das Package-Konzept nicht zu umst\344ndlich ist. W\374nschenswert w\344re eine kleine proc, die selbst\344ndig na ch packages sucht." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 212 "2.) Die von Maple \+ vergebenen Namen _C1, _C2 ... f\374r Integrationskonstanten: die Numme r h\344ngt von der Vorgeschichte ab. Das mu\337 ggf. ber\374cksichtigt werden, wenn in Befehlen auf diese Variablen Bezug genommen wird." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 150 "3.) Reihenfolge von L\366sungen: ebenfal ls nicht stabil, wenn L\366sungs*mengen* berechnet werden. Insbes. ist der Bezug mit (\") mit Vorsicht zu gebrauchen." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Schreibweise: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "In diesem Abschnitt steht DG immer f\374r gew \366hnliche Differentialgleichung (eine unabh\344ngige Variable)." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Den Maple -Befehlen ist im Text ein \"<\" vorangestellt (... hoffentlich konsequ ent ...)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Eine DG der Ordnung r kann (expliz it) so notiert werden:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "y^(r)=f[x,y(x),y'(x),...,y^(r-1)]" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1307 "Das ist eine Funktion algleichung, in der neben der unabh\344ngigen Variablen noch die gesuc hte Funktion und ihre (r) Ableitungen vorkommen. In der Literatur zu \+ DGn werden die Methoden zur L\366sung nach steigendem Schwierigkeitsgr ad geordnet behandelt. Das bedeutet in der Regel eine Einteilung in di e zwei gro\337en Abschnitte DG 1.Ordnung und DG h\366herer Ordnung, di e dann weiter unterteilt werden in lineare und nicht-lineare Gleichung en, spezielle Typen von Gleichungen und Gleichungssysteme. Da wir mit \+ unserem CAS ein elektronisches Handbuch zur Verf\374gung haben, m\374s sen wir uns nicht so sehr um den Schwierigkeitsgrad oder gar die Theor ie der L\366sungsmethoden k\374mmern - das erledigt Maple f\374r uns. \+ Wir k\366nnen vielmehr die f\374r den Physiker und experimentellen Mat hematiker interessanten Zusammenh\344nge in den Vordergrund stellen (s oweit sie in diesem kurzen Anhang Platz haben) und uns im wahrsten Sin ne des Wortes ein Bild davon machen, wie zum Beispiel der Typ der DG d en Typ der L\366sungsfunktion bestimmt (und umgekehrt). Deshalb beginn t dieser Abschnitt mit den mehr \"handwerklichen\" Aspekten, die zur V eranschaulichung der L\366sungen einer DG dienen: Scharen von L\366sun gskurven, Richtungsfeld, Isoklinen, Trajektorien, Phasenportraits (man k\366nnte noch erg\344nzen: Cauchy-Streckenzug und Picard-Lindel\366f -N\344herurng)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Wir beginnen mit der zentralen Fragestellung nach der Bes timmung und Darstellung von L\366sungskurven:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 206 "Zur L\366sung einer DG b en\366tigt man zun\344chst nur den Befehl " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "gl:=diff(y(x),x)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "dsolve ()" {MPLTEXT 1 0 16 "dsolve(gl,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "(Wir k\366nnen ja auch mit Maple mit einer einfachen Glei chung beginnen.)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Oder etwas anspruchsv oller" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "gl:=diff(y(x),x$3)=0;" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "dsolve(gl,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 274 "Jetzt haben wir schon drei Scharparamete r, n\344mlich die drei Integrationskonstanten _C1, _C2 und _C3. Verwen det man die Option " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "dsol ve(gl,y(x),method=laplace);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Wi r bleiben zun\344chst bei der L\366sung mit den Integrationskonstanten und geben ihr einen Namen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "sol: =rhs(dsolve(gl,y(x)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Eine Al ternative w\344re sol:=dsolve(gl,y(x));assign(sol); " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 67 "Dann ist es aber nicht so einfach, die L\366sung weiter zu bearbeiten." }}{PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Kurvenscharen werden in der Regel mit dem Befehl " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "_C1:=1:_C2:=2:_C3:='_C3 ':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "plot(\{seq(sol,_C3=-3 ..3)\},x=-1..1,-2..2,scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Mit kleinerer Schrittweite:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "plot(\{seq(sol,_C3=seq(-3+0.5*i,i=0..15))\},x=-1..1,- 2..2,scaling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Abb. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "read `fig.m`:pspl(`p1madg1.ps`):" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "vtitle:=``:vxlab:=`x`:vylab:=`y`:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "plot(\{seq(sol,_C3=seq(-3+0.5*i,i=0..15)) \},x=-1..1,-2..2,scaling=constrained,opt2d); winpl();" }}{PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Oder dreidimensional :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "_C3:='_C3':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 90 "plot3d(sol,_C3=-3..3,x=-1..1,view=-3..4,s tyle=wireframe,orientation=[-140,80],axes=frame);" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 233 "Jet zt k\366nnen Sie im Prinzip schon jede DG l\366sen, die Maple l\366sen kann, und sich ein Bild von der L\366sung machen. Wie w\344re es mit \+ folgender Fragestellung: \"Wie sieht die L\366sung einer DG 1.Ordnung \+ aus, in der ein Polynom in y vorkommt?\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Das Primitivpolynom y(x)=0 hatten \+ wir schon oben. Der n\344chste Schwierigkeitsgrad w\344re dann y(x):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "gl:=diff(y(x),x)=y(x);dso lve(gl,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Diese wohlbekann te L\366sung erscheint in neuem Licht, wenn wir zu y(x)^n fortschreite n:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "gl:=diff(y(x),x)=y(x)^n;dsolv e(gl,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Bei einem \"echten Polynom\" wird es noch schwieriger" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "gl:=diff(y(x),x)=a*y(x)^3+b*y(x)^2+c*y(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "dsolve(gl,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Und bei gebrochen rat. Fktn. in y? (rechnen Sie mit einer l\344ngeren Ausgabe!) " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "gl:=diff (y(x),x)=a*y(x)^3+b*y(x)^2+c/y(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "dsolve(gl,y(x),explicit);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "l\344uft in R3" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 645 "Nach diesem erste n Ausflug in das abwechslungsreiche Land der Differentialgleichungen k \366nnen wir unsere mathematischen Experimente zum Zusammenhang DG <- -> Integralkurven mit der Frage nach der Eindeutigkeit des Kurventyps fortsetzen. Man kann sich z.B. vorstellen, da\337 man experimentell e inen funktionalen Zusammenhang zwischen zwei Gr\366\337en bestimmt hat , und nun die Bewegungsgleichung (im verallgemeinerten Sinn) sucht. Mi t dieser Fragestellung k\366nnen wir gleichzeitig testen, welche L\366 sungsmethoden Maple einsetzt. Wir w\344hlen uns die leicht \374berscha ubare Funktion y=x^2 (als experimentell gefundenes \"Gesetz\") und kon struieren dazu f\374nf DGn." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "dg1:=y(x)+diff(y(x),x)=x^2+2*x;" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dg2:=y(x)*diff(y(x),x)=2*x^3 ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "dg3:=y(x)/diff(y(x),x) =x/2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "dg4:=diff(y(x),x)/ y(x)=2/x;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "dg5:=y(x)=diff (y(x),x)^2/4;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Und lassen l\366 sen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "for i to 5 do dsolve(dg||i, y(x)) od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 323 "[Vor Maple 6: Nur mit der vierten DG erhalten wir wiede r den einfachen angesetzten Funktionstyp, weil in dieser Gleichung die Variablen schon getrennt sind. Die zweite, dritte und f\374nfte Gleic hung f\374hren zu implizit gegebenen L\366sungen, die sich aber mit de r Option " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "with(DEtools): with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "for i to 5 do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "d isplay(\{plot(x^2,x=-2..2),dfieldplot(dg||i,y(x),x=-2..2,y=-2..2,scali ng=constrained)\}) od;" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Nicht mehr g \374ltig in Maple 6" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 485 "Zu einer Funktion habe n wir also f\374nf DGn und zu vier dieser DGn haben wir jeweils eine w eitere L\366sung bekommen. Das bedeutet aber umgekehrt auch, da\337 ma n sich sorgf\344ltig \374berlegen mu\337, in welcher Form man Maple ei ne DG vorlegt, denn man bekommt in (diesen) vier von f\374nf F\344llen nicht die einfachste L\366sung. Man mu\337 aber auch darauf gefa\337t sein, da\337 das Richtungsfeld nicht zur vorgeschlagenen L\366sung pa \337t. Vielleicht haben Sie es schon bemerkt ... die explizite L\366su ng von dg3 lautet:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "dsolve(dg3,y( x),explicit);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Also sehen die r eellen Integralkurven zu dg3 so aus:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "plot(\{seq((c*x)^(2/3),c=-5..5)\},x=-2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 131 "Und das sind Kurven, die nur im singul\344ren Pun kt (0|0) zu den anderen L\366sungen passen, es empfiehlt sich also, di e Probe zu machen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 42 "Das kann man nat\374rlich auch selbst machen:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 108 "for i to 4 do ys||i:=subs(y(x)=y,solve(dg||i,diff(y(x),x))) od; ys5:=subs(y(x) =y,\{solve(dg5,diff(y(x),x))\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Neben dem Richtungsfeld gibt es n och ein zweites Hilfsmittel zur Untersuchung der L\366sungsfunktionen \+ von DGn:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "Isoklinen" {TEXT -1 9 "Isoklinen" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 441 "Es gibt mit Maple einen einfachen Trick, sich ohne vi el Mathematik ein Bild von den Kurven gleicher Steigung zu verschaffen . Man stellt die Steigung (y') als Funktion von x und y dreidimensiona l dar (zu diesem Zweck wurde oben y(x) durch y substituiert, weil y(x) nicht in der Bereichsangabe akzeptiert wird). Diese Darstellung bekom mt noch mehr Aussagekraft, wenn man im Plot die Option style=contour w \344hlt und den Plot von oben betrachtet:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "plot3d(ys3,x=-2..2,y=-2..2,v iew=-4..4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 365 "Als es noch keine CASe gab, mu\337te man die Isoklinen von Hand zeichnen und sie dann \"mit Linienelementen bespicken\". Mit Maple ben\366tigen wir dazu nur zwei Befehle (es w\344re zu aufwendig , an dieser Stelle die Linienelemente genau auf die Isoklinen zu setze n, deshalb begn\374gen wir uns mit der zweidimensionalen Darstellung d er Isoklinen zusammen mit dem Richtungsfeld):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "iso:=solve(ys1=a,y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 101 "display(\{plot(\{seq(iso,a=-3..3)\},x=-2..2),dfieldp lot(dg1,y(x),x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Abb." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "pspl( `p9madg1.ps`):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "display(\{plot(\{seq(i so,a=-3..3)\},x=-2..2),dfieldplot(dg1,y(x),-2..2,-2..2,scaling=constra ined)\},opt2d);winpl():" }}{PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Das dritte Hilsmit tel bei der Untersuchung von DGn sind die " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "Trajektorien" {TEXT -1 12 "Trajektorien" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 436 "In der P hysik ben\366tigt man oft die Gleichung und Darstellung einer Kurvensc har, deren Kurven mit den Kurven einer gegebenen Schar einen bestimmte n Winkel bilden (Feld -- Potential, Wellenfront -- Strahl, ...). Diese Aufgabe l\344\337t sich leicht bewerkstelligen, wenn man die DG (1.Or dnung) der gegebenen Schar hat. Zu der Schar mit y'=f(x) lautet die DG der Trajektorien: yt'=(1+cf)/(c-f) , mit c als Cotangens des eingesch lossenen Winkels." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "f:='f': c:='c' :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "dg:=diff(y(x),x)=f;" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dgt:=diff(y(x),x)=(1+c*f)/ (c-f);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "W\344hlen wir als einf aches Beispiel f\374r Trajektorien (oder \304quipotentiallinien - bei \+ umgekehrter Problemstellung) Strahlen, d.h. Ursprungsgeraden" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "f:=y(x)/x;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "so erhalten wir die Gleichung der logarithmischen Spirale in etwas ungewohnter Form" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "dsolv e(dgt,y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Das Richtungsfeld kann ohne weiteres gezeichnet werden" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(DEtools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "c:=0 .1:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "p1:=dfieldplot(dgt,y (x),x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 3 "p1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "F\374r e ine Scharkurve schreiben wir die logarithmische Spirale in Parameterfo rm" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "c:=0.1: R:=0.2:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "r:=R*exp(c*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "p2:=plot([r*cos(t),r*sin(t),t=0..20]):p2;" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "display(\{p1,p2\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Abb." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "pspl( `p10madg1.ps`):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "display(\{p1,p2\},opt2 d);winpl():" }}{PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "(Aufgabe: erg\344nzen Sie den vorangehenden Plot durch d ie Darstellung der Strahlen ... zwei davon werden automatisch dargeste llt)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Eine interessantere Aufgabe:" }}{PARA 0 "" 0 "Orthogonaltrajekt orien" {TEXT -1 97 "Bestimmung der Orthogonaltrajektorien zu einer Sch ar \344hnlicher Ellipsen mit gleichem Mittelpunkt." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "DGn der Kurvenscharen:" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "re start; with(DEtools):with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "dg:=diff(y(x),x)=f:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dgt:=diff(y(x),x)=(1+c*f)/(c-f):" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 108 "Ellipsengleichungen (z.B. Verh\344ltnis der Halba chsen n=a/b, denn wir ben\366tigen ja nur *einen* Scharparameter)" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "el:=x^2/a^2+y(x)^2/b^2=1; b:=a/n;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Elimination des Scharparameters " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "asol:=solve(el,a);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "DG der Ellipsenschar" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 32 "dgl:=subs(a=asol[1],diff(el,x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Also ist die rechte Seite der DG 1.Ordng." }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "f:=solve(dgl,diff(y(x),x));" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Probe (bei Wiederholung mit andere m n hier wieder einsteigen)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "n:=s qrt(3):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "probe:=dsolve(dg ,y(x),explicit);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Eine ganze El lipse als Liste zweier halber Ellipsen:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "sol:=rhs(probe[1]),rhs(probe[2]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Schau' mer mal, wie's ausschaut:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 "pel:=plot(\{seq(sol,_C1=seq(0.2*i,i=1..5))\},x=-2..2, color=blue,scaling=constrained):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "pel;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Aber nun \+ kommt die eigentliche Arbeit, also die Bestimmung der Orthogonaltrajek torien" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "c:=0:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "solt:=rhs(dsolve(dgt,y(x),explicit));" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Das sind also ganz normale Potenzf unktionen ... " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "ptra:=plot(\{seq(solt,_C1=seq(0.2*i,i=-5..5))\},x=-2. .2,color=black,scaling=constrained):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "ptra;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Und stehen die auch wirklich (senkrecht) \+ auf den Ellipsen?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 27 "with(plots): with(DEtools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "display(\{dfieldplot(dgt,y(x),x=-2..2,y=-2..2) ,dfieldplot(dg,y(x),x=-2..2,y=-2..2),pel,ptra\});" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Abb. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "read `fig.m`:vtitle:=``:vxlab:=``:vyl ab:=``:pspl(`p11madg1.ps`):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "display(\{ dfieldplot(dgt,y(x),-2..2,-2..2),dfieldplot(dg,y(x),-2..2,-2..2),pel,p tra\},opt2d);winpl():" }}{PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "Sie k\366nnen nun o ben ein anderes n einsetzen und so Ellipsenscharen verschiedener Exzen trizit\344t erzeugen (bitte dabei auf die Numerierung der _C's achten) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "... u nd f\374r die Spezialisten:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Was ergibt sich f\374r imagin\344res n?" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "Aber Spe zialisten wissen das nat\374rlich! Doch hatten sie (die Spezialisten) \+ schon jemals ein Werkzeug, mit dem man das so m\374helos zeigen konnte ?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "=====================================" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Weitere B eispiele:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "DG vom Riccati-Typ (dg ist weiterhin y'=f):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "f:=x^2+y(x)^2; z:=r hs(dsolve(dg,y(x)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 198 "Maple we i\337 uns also auch hier zu helfen, wenn wir etwas Geduld aufbringen u nd den Namen der Integrationskonstanten richtig w\344hlen (im Beispiel _C1, das kann sich aber von session zu session \344ndern)." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "_C1:=1:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot(z,x=-3..3,-3..3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Richtungsfeld und Isoklinen" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 "display(\{dfieldplot(dg,y(x),x=-2..2,y=-2..2,scaling= constrained),seq(polarplot(r),r=1..2)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Im letzten Befehl wurden die kreisf\366rmigen Isolklinen mit " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "ipl:=implicitplot(\{seq(subs(y(x)=yy,f)=const ,const=1..2)\},x=-2..2,yy=-2..2): ipl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "display(\{dfieldplot(dg,y(x),x=-2..2,y=-2..2,scaling= constrained),ipl\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "Nun k\366nnen Sie ein anderes f eingeben und d ie Richtungsfelder und Isoklinen IHRER Funktionen untersuchen." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Wir verwe nden das letzte Beispiel, zu einer weiteren Demonstration der DEtools, n\344mlich der " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "Phasenportrait" {TEXT -1 55 "Phasenportraits (hier als N\344herun gsmethode eingesetzt):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 252 "Integralkurven einer expliziten DG 1. Ordnung k\366 nnen auch mit dem Befehl " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "f:=y(x)^2+x^2; " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "phaseportrait(dg,[y(x)],-1..1,\{[1,0],[1, .2],[1,.4],[1,.7],[1,1.2]\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "#display(\{%,dfieldplot(dg,y(x),x=-2..2,y=-2..2) \});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Mit dieser Methode bekommt man allerdings bei singul\344ren Pu nkten Schwierigkeiten, z.B. bei folgender Funktion:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "f:=2*y(x)/x: phaseportrait(dg,[y(x)],-1..1,\{[1,0] ,[1,.2],[1,.4],[1,.7],[1,1.2]\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "No ch ein Hinweis zur Verwendung von " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "f:=x/y(x): phaseportrait(dg,[y(x)],-1..1,\{[1,.1],[1, .2],[1,.4],[1,.7],[1,1.2]\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Das l\344\337t sich auch mit der Opti on " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 "phaseportrait(dg,[y(x)],-1..1,\{[1,.1],[1,.2],[1,.4],[1,.7],[1,1.2 ]\},stepsize=0.02);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Dabei habe n wir doch eine so einfache L\366sung ..." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "dsolve(dg,y(x),explicit);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "komma@oe.uni-tuebingen.de" }}}} {MARK "0 5 0" 15 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }