Isolde-Kurz-Gymnasium Reutlingen

Abiturprüfung 1999 'Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer'

 

Leistungskurs, Aufgabenvorschlag 3

Für Teil a) und b): Gegeben ist die Funktionenschar [Maple Math]

a) Geben Sie eine Differentialgleichung für diese Schar an (mit Probe).

Zeichnen Sie die Scharkurven für t = -5,-4,..,5.

Wo liegen die Wendepunkte der Scharkurven?

Stellen Sie die Gleichung für die Schar der Isoklinen von ft auf zwei Arten auf und ergänzen Sie die Zeichnung der Scharkurven durch einige Isoklinen.

b) Zeichnen Sie die vier Kurven der Schar ft, die in ihren Wendepunkten Steigungen vom Betrag 1, 2, 3 und 4 haben und oberhalb der x-Achse liegen.

Ergänzen Sie diese Zeichnung durch diejenigen Isoklinen, welche diese vier Kurven jeweils in ihren Wendepunkten berühren.

Was läßt sich über die Anzahl der Schnittpunkte einer Isokline mit einer Scharkurve aussagen?

==========================================================

c) Im Punkt Q( 6 | 6 | -9 ) befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. Ein Beobachter in P(-12 | -6 | 15 ) sieht das Spiegelbild von Q in einem ebenen Spiegel mit der Gleichung E1: x+2y+2z+9 = 0. In welchem Punkt S der Ebene E1 wird der Lichtstrahl reflektiert? Zeichnen Sie die Lichtquelle, den Beobachtungspunkt, den Spiegel und den Strahlengang.

Die Strahlen QS und SP liegen in einer Ebene E2. Geben Sie eine Gleichung für E2 in Koordinatenform mit möglichst kleinen ganzzahligen Koeffizienten an. Zeigen Sie, daß diese Ebene senkrecht auf E1 steht, und bestimmen Sie die Schnittgerade h von E2 mit E1. Ergänzen Sie die Zeichnung durch die Ebene E2 und die Schnittgerade.

d) Zeigen Sie, daß von allen gedachten Lichtwegen, die von Q über einen Punkt S' der Geraden h nach P führen, der Weg QSP der kürzeste ist.

Veranschaulichen Sie mit Hilfe einer geeigneten Funktion von zwei Veränderlichen, daß S der Punkt der Ebene E1 ist, zu dem der kürzeste Lichtweg von Q über E1 nach P gehört. Untersuchen Sie, ob diese Funktion die für ein Extremum notwendige Bedingung erfüllt.

> restart:with(plots):

>

> ft:=x->t*exp(-x^2/2);

[Maple Math]

>

>

a)

Geben Sie eine DG für die gegebene Schar an (mit Probe).

Man eliminiert aus dem Gleichungssystem für die Schar und ihre Ableitung den Scharparameter (bzw. man stellt fest, daß die Ableitung das -x-fache der Funktion ist):

> fts:=D(ft);

[Maple Math]

> sys:=solve({y(x)=ft(x),ys(x)=fts(x)},{t,ys(x)});

[Maple Math]

>

> assign(%);t:='t':

> DGL:=diff(y(x),x)=ys(x);

[Maple Math]

Probe:

> sol:=dsolve(DGL,y(x));

[Maple Math]

Mit der Integrationskonstanten _C1 = t als Scharparameter

>

> # 2 VP

>

Zeichnung:

> plot({seq(ft(x),t=-5..5)},x=-4..4,-6..6);

[Maple Plot]

>

> # 1 VP

>

Wo liegen die Wendepunkte der Scharkurven?

Für die notwendige Bedingung müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt werden.

> ftss:=D(fts);

[Maple Math]

>

> solve(ftss(x),x);

[Maple Math]

Hinreichende Bedingung:

> ftsss:=D(ftss);

[Maple Math]

> ftsss(1);

[Maple Math]

Ist von Null verschieden (außer für t = 0).

>

Bzw. Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung:

> limit(signum(0,ftss(x),0),x=1,left);limit(signum(0,ftss(x),0),x=1,right);

[Maple Math]

[Maple Math]

Die Wendepunkte aller Scharkurven liegen also auf den Geraden x = 1 und x = -1 ('geom. Argumentation': Schar entsteht durch Streckung).

>

> # 2 VP

>

Stellen Sie die Gleichung für die Schar der Isoklinen von ft auf zwei Arten auf.

1. Aus der Differentialgleichung für ft erhält man direkt die Kurven gleicher Steigung:

> DGL;

[Maple Math]

> yiso=solve(rhs(DGL)=const,y(x));

[Maple Math]

2. (Standardverfahren zur Bestimmung von Ortskurven) Eliminieren des Scharparameters mit der Bedingung 'gleiche Steigung für alle Kurven':

> ti:=solve(fts(x)=const,t);

> yiso:=simplify(subs(t=ti,ft(x)));

[Maple Math]

[Maple Math]

>

> plot([seq(ft(x),t=-5..5),seq(yiso,const=-4..4)],x=-4..4,-6..6,color=[red,blue]);

[Maple Plot]

>

> # 3 VP

>

>

b)

b) Zeichnen Sie die vier Kurven der Schar, die in ihren Wendepunkten Steigungen vom Betrag 1, 2, 3 und 4 haben und oberhalb der x-Achse liegen.

Der Scharparameter t muß geeignet gewählt werden

> solve(fts(1)=n,t);

[Maple Math]

Also:

> t=-n*exp(1/2);

[Maple Math]

Probe:

> simplify({seq(fts(1),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))});

[Maple Math]

Und Symmetrie zur y-Achse

> plot({seq(ft(x),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))},x=-4..4,0..8,scaling=constrained);

[Maple Plot]

>

> # 2 VP

>

Zeichnen Sie diejenigen Isoklinen, welche diese vier Kurven jeweils in den Wendepunkten berühren.

Die Scharkurven haben in ihren Wendepunkten die betragsmäßig größte Steigung. Eine Isokline, die mit einer Scharkurve deren Wendepunkt gemeinsam hat, kann diese Schrkurve also nicht an einer zweiten Stelle schneiden. Es müssen also die Isoklinen zu den Steigungen mit den Beträgen 1, 2, 3 und 4 gezeichnet werden.

(Ausführlicher: Isoklinen zu ganzzahliger Seigung haben für x=+-1 gleiche Funktionswerte und Steigung wie die vier Scharkurven. Ihre zweite Ableitung ist aber nie Null, also berühren sich die Kurven.)

>

> display(plot({seq(ft(x),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))},x=-4..4,y=0..7),plot({seq(abs(yiso),const=1..4)},x=-4..4,y=0..7,color=black),scaling=constrained);

[Maple Plot]

>

> # 3 VP

>

Was läßt sich über die Anzahl der Schnittpunkte einer Isokline mit einer Scharkurve aussagen?

Eine bestimmte Isokline zur Steigung c vorausgesetzt:

a) Kein Schnittpunkt: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt betragsmäßig kleiner als |c|

b) Genau ein Berührpunkt: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt gleich c

c) Zwei Schnittpunkte: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt betragsmäßig größer als |c|

>

> # 2 VP

>

Anm: Die Schnittpunkte von Scharkurven und Isoklinen lassen sich nur numerisch berechnen (bzw. LambertW).

>

c)

Im Punkt Q( 6 | 6 | -9 ) befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. Ein Beobachter in P(-12 | -6 | 15 ) sieht das Spiegelbild von Q in einem ebenen Spiegel mit der Gleichung E1: x+2y+2z+9 = 0. In welchem Punkt S der Ebene E1 wird der Lichtstrahl reflektiert? Zeichnen Sie die Lichtquelle, den Beobachtungspunkt, den Spiegel und den Strahlengang.

> restart:with(geom3d):with(plots):with(linalg):
_EnvXName:=x: _EnvYName:=y: _EnvZName:=z:_EnvTName:=t:

Warning, new definition for inverse
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

Definition der Ebene

> n:=[1,2,2];r:=[x,y,z];dE:=9:

[Maple Math]

[Maple Math]

> plane(E1,innerprod(n,r)+dE=0,[x,y,z]);

[Maple Math]

> detail(E1);

   name of the object: E1
   form of the object: plane3d
   equation of the plane: x+2*y+2*z+9 = 0

>

>

Lichtquelle Q

> q:=[6,6,-9]:

> coordinates(point(Q,q));

[Maple Math]

Lotfußpunkt L (nicht verlangt)

> coordinates(projection(L,Q,E1));

[Maple Math]

>

Spiegelbild QS

> coordinates(reflection(QS,Q,E1));

[Maple Math]

>

Betrachter in P

> p:=[-12,-6,15]:

> point(P,p):

Gerade g vom Betrachter zum Spiegelbild

>

> Equation(line(g,[P,QS]));

[Maple Math]

>

Schnitt S von g mit E1

> coordinates(intersection(S,g,E1));

[Maple Math]

> # 2 VP

Zeichnung (enthält auch nicht verlangte Elemente)

>

> vopt:=view=[-15..15,-15..15,-15..15]:

> E1pl:=draw(E1,axes=normal,color=yellow,style=patchnogrid,vopt):

> Ppl:=display(draw(P,symbol=box),color=red,vopt):

> Qpl:=display(draw(Q,symbol=box),color=red,vopt):

> Lpl:=display(draw(L,symbol=box),color=red,vopt):

> QSpl:=display(draw(QS,symbol=box),color=red,vopt):

> QQSpl:=draw(segment(QQS,[Q,QS]),thickness=2,vopt):

> PQSpl:=draw(g,thickness=2,vopt):

> Spl:=display(draw(S,symbol=box),color=red,vopt):

> SQSpl:=draw(segment(SQS,[Q,S]),thickness=2,vopt):

>

> display(Ppl,Qpl,Lpl,QSpl,Spl,QQSpl,PQSpl,SQSpl,E1pl,axes=normal,orientation=[-44,64]);

[Maple Plot]

>

> # 2 VP

>

Die Strahlen QS und SP liegen in einer Ebene E2. Geben Sie eine Gleichung für E2 in Koordinatenform mit möglichst kleinen ganzzahligen Koeffizienten an. Zeigen Sie, daß diese Ebene senkrecht auf E1 steht, und bestimmen Sie die Schnittgerade h von E2 mit E1. Ergänzen Sie die Zeichnung durch die Ebene E2 und die Schnittgerade.

Definition der Ebene

> dsegment(SQ,S,Q);

[Maple Math]

>

> dsegment(SP,S,P);

[Maple Math]

>

> plane(E2,[SQ,SP]);

[Maple Math]

> detail(E2);

   name of the object: E2
   form of the object: plane3d
   equation of the plane: 180+90*x-75*y+30*z = 0

Möglichst kleine ganzzahlige Koeffizienten

> plane(E2,Equation(E2)/15);

[Maple Math]

> Equation(E2);

[Maple Math]

E2 orthogonal E1

> dotprod(n,[6,-5,2]);

[Maple Math]

> #ArePerpendicular(E1,E2);

[Maple Math]

>

> # 2 VP

>

Gleichung der Schnittgeraden h

> rh:=Equation(intersection(h,E1,E2));

[Maple Math]

Zeichnung

> E2pl:=draw(E2,axes=normal,color=green,style=patchnogrid,vopt):

> hpl:=draw(h,thickness=2,color=black,vopt):

> #display(E1pl,Ppl,Qpl,E2pl,hpl);

> display(E1pl,Ppl,Qpl,Spl,E2pl,hpl,Lpl,QSpl,Spl,QQSpl,PQSpl,SQSpl,orientation=[-6,76]);

[Maple Plot]

>

> # 2 VP

>

>

d)

Zeigen Sie, daß von allen gedachten Lichtwegen, die von Q über einen Punkt S' der Geraden h nach P führen, der Weg QSP der kürzeste ist.

> lichtweg:=distance(P,S)+distance(S,Q);

[Maple Math]

>

Richtungsvektoren von h (Aufpunkt vom Ortsvektor abziehen)

> rhv:=rh-subs(t=0,rh);

[Maple Math]

Punkt S' (Richtungsvektoren zum Aufpunkt S addieren)

> coordinates(point(SS,coordinates(S)+rhv));

[Maple Math]

Abstände addieren

> umweg:=distance(P,SS)+distance(SS,Q);

[Maple Math]

>

> # 2 VP

>

Notwendige

> solve(diff(umweg,t));

[Maple Math]

und hinreichende Bedingung für ein Minimum

> subs(t=0,diff(umweg,t$2));

[Maple Math]

>

> # 1 VP

>

>

Veranschaulichen Sie mit Hilfe einer geeigneten Funktion von zwei Veränderlichen, daß S der Punkt der Ebene E1 ist, zu dem der kürzeste Lichtweg von Q über E1 nach P gehört. Untersuchen Sie, ob diese Funktion die für ein Extremum notwendige Bedingung erfüllt.

>

Naheliegend ist es, einen zweiten Richtungsvektor zu verwenden, der senkrecht auf dem Normalenvektor von E1 und einem Richtungsvektor von h steht

> rj:=convert(subs(t=s,crossprod(n,rhv)),list);

[Maple Math]

(crossprod() erzeugt Vektor, point() braucht Liste!)

> #dotprod(rhv,rj),dotprod(n,rj);

>

Punkt der Ebene, der für s = t = 0 in S übergeht

> coordinates(point(SU,coordinates(S)+rhv+rj));

[Maple Math]

> umweg2:=distance(P,SU)+distance(SU,Q);

[Maple Math]

>

> # 2 VP

>

> plot3d(umweg2,s=-0.1..0.1,t=-1..1,style=patchcontour,axes=framed,orientation=[-22,35]);

[Maple Plot]

>

>

Notwendige Bedingung:

> solve({diff(umweg2,t),diff(umweg2,s)});

[Maple Math]

>

> # 2 VP

>

>